Antes quizás de entrar en él, deberíamos preguntarnos qué hay detrás del número 2, y qué significa duplicar o hallar la medida doble.
Para los pitagóricos el número 2 indicaba la entrada en la materia, como un espejo en el que la realidad ideal se convierte en una imagen, se duplica en ella, en una simetría que no le permitirá nunca ser igual a sí misma (como sucede en la simetría especular, de hecho). Los pasos de la aparente realidad aumentada o disminuida serían duplicaciones o mitades.
Los filósofos egipcios se fijaron en que la suma de la mitad más la mitad de la mitad, más la mitad de la mitad de la mitad, y así sucesivamente, por más veces que se efectúe esta operación, nunca completará el todo. Esto lo representaron por el Ojo de Horus, partido por Seth (la materia o el tiempo como adversidad) en pedazos y que solo puede ser reconstituido mágicamente por Thot, la Inteligencia. Las diferentes partes de este Ojo de Horus designaban diversas potencias de 2 inversas, y la suma de las mismas dejaba siempre 1/64 sin completar, sin llegar a la unidad.
Quizás la parábola cristiana diciendo que «el Reino de los Cielos (o sea, donde vive plenamente el rayo de Dios o la Unidad, más allá de la materia, o en su grado más sutil) es como un grano de mostaza» exprese, en clave matemática, este mínimo que permite dar sentido al todo, recuperar la unidad perdida.
También debemos considerar cómo el número 2 y sus potencias nos dan la medida del conjunto de partes de un conjunto, incluyendo al todo. O sea, otra referencia al todo desmembrado, que necesitamos mirarlo en la suma de sus diferentes subconjuntos.
Por ejemplo, el llamado «conjunto de partes de un conjunto». Si tenemos dos elementos, A y B, dicho conjunto estaría formado por A, B, AB y el conjunto vacío. Si es de A, B, C, tendríamos A, B, C, AB, AC, BC, ABC y el conjunto vacío (aunque considerar este o no, es motivo de debate). Si es de A, B, C, D, el conjunto estaría formado por A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD y el conjunto vacío.
Podemos ver, y se puede demostrar, que el conjunto de partes de un conjunto es 2 elevado a la potencia del número de elementos individuales de dicho conjunto.
22 = 4 , si tiene 2 elementos: A, B.
23 = 8 si tiene 3 elementos: A, B, C.
24 = 16 si tiene 4 elementos: A, B, C y D.
Si no consideramos el conjunto vacío, este conjunto de partes de un conjunto estaría formado por 2n-1, y la serie de números que origina, asociado a dicho concepto, fue muy importante en la Antigüedad, como veremos en un futuro artículo.
Hay otro concepto importantísimo en relación con el 2, y que es basilar en la matemática filosófica antigua y sagrada o natural. Doblar algo (como sucede con un triángulo rectángulo 1, 1, ) o aumentar al doble su tamaño es hacer que sea exactamente el mismo, pero en un nivel diferente. Si el tamaño-materia no importa, nos encontramos ante la misma realidad-idea-forma. La clave aquí es la música. Una nota musical con la mitad de vibraciones por segundo o longitud de onda, o con el doble, es la misma nota musical en una escala diferente. Un escala musical va siempre desde una nota hasta la que se escucha semejante, con el doble de vibraciones por segundo (o si es una cuerda, con la mitad en extensión de la misma). Esto sucede en el sonido y, como mostró veladamente Walt Disney (invierte el orden), también en los colores, pues el espectro visual va desde los 380 (en el rojo) a los 770 (en el violeta) nanómetros. Lo asombroso es cómo el violeta se acerca visualmente al rojo en una escala diferente. O sea, aunque nosotros lo llamamos simplemente ultravioleta o infrarrojo, quizás ambos estén repitiendo una misma escala de colores en lo invisible.
https://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_visible#/media/Archivo:Electromagnetic_spectrum-es.svg
Profesor Von Drake en su famosa canción «El espectro» de los geniales hermanos Sherman.
https://www.youtube.com/watch?v=NZ31_i0os40&ab_channel=RetroMagicMania
O sea, que entre una realidad manifestada y su doble o mitad, recorre todos los arquetipos, como una espiral que da una vuelta sobre sí misma, o por dentro, o por fuera, y vuelve al mismo eje.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espiral#/media/Ficheiro:Espiral_de_Arquimedes.jpg
Espiral de Arquímedes
La duplicación del cubo, o de un volumen dado (que sintetiza) debió de ser en la Antigüedad un asunto de extrema importancia, pues el que es quizás el sanctasanctórum de la misma (el punto alfa de todo un ciclo de historia y vida de la humanidad), o sea, el llamado sarcófago de granito de la Gran Pirámide, lo recrea de asombrosa manera. El volumen exterior es exactamente el doble del interior. Si a esto añadimos, como dice el ingeniero de la NASA Christopher Dunn, que está afinado en un perfecto la musical, en cuanto que la llamada Cámara del Rey en que está y la Pirámide misma lo están en un perfecto fa, podemos intuir, aunque sea vagamente, su importancia.
Si tenemos un segmento, es fácil duplicar su tamaño; basta repetirlo en la misma línea (como sumar una magnitud consigo misma). Si queremos duplicar una superficie, por ejemplo, un cuadrado (que generalmente se usa como medida de superficie), ya no es tan evidente: tenemos que usar de lado del nuevo cuadrado la diagonal del antiguo que queremos duplicar. Se prueba fácilmente usando el teorema de Pitágoras.
Pero duplicar un cubo no es tan fácil, ni mucho menos. De hecho, es uno de los tres problemas insolubles de la matemática griega (junto con la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo). Insolubles utilizando la geometría plana y en función del uso de regla no graduada y compás (o sea, a base de círculos y líneas rectas). Fue necesario esperar hasta el año 1837 para obtener una demostración de esta imposibilidad. Pierre Wantzel lo hizo con métodos algebraicos, frente a la más completa indiferencia de sus colegas matemáticos contemporáneos, que hicieron vacío a este importantísimo descubrimiento durante otros cincuenta años. Las demostraciones de «imposibilidad de» no estaban entonces de moda entre los matemáticos. Aquí va una explicación didáctica pero densa densa de tal imposibilidad, en el genial Mathologer:
https://www.youtube.com/watch?v=O1sPvUr0YC0&t=1540s&ab_channel=Mathologer
Aritméticamente es simple; la cuestión es cómo hallar este geométricamente.
Este factor de duplicación del cubo, , también lo encontramos en la escala musical temperada. Si una nota musical es la misma en la escala siguiente, su número de vibraciones es el doble. Si queremos dividir esta distancia en doce factores (que se corresponden con los semitonos, en las teclas del piano, blancas y negras, por ejemplo entre una nota y la misma superior), el factor por el que hay que multiplicar cada nota para obtener la siguiente es .
Pues A = 2 A
Si queremos buscar la distancia musical para que la misma en tres veces duplique y nos dé la misma nota en la escala superior, será la llamada tercera, que se corresponde, precisamente con .
Y nos referimos a la escala temperada en que las distancias entre las notas musicales es un tono o medio tono exactamente igual. Este factor con es exactamente el equivalente de la duplicación del cubo, la tercera en lenguaje musical.
La primera mención —sin contar el sarcófago de granito rojo de la Gran Pirámide— que tenemos de la duplicación del cubo en nuestra cultura occidental es la de un poeta (que se discute si podría ser Esquilo, Sófocles o Eurípides) que narra cómo Minos estaba descontento con la medida de la tumba de Glauco (de 30 pies de cada lado) y quería que su volumen fuera el doble.
Aunque la versión más conocida, y de ahí viene el nombre de este problema, que es llamado «problema delio», es que los ciudadanos delios preguntaron en el oráculo de Apolo cómo liberarse de una peste que los estaba diezmando, y el dios respondió que construyendo un altar que fuera el doble de volumen del altar que ya tenían. Consultado Platón sobre el significado del oráculo o cómo construirlo, el sabio de la Academia habría dicho que la epidemia era fruto de su abandono de sus intenciones hacia el mundo inteligible, matemático y divino, siendo así sus mentes arrastradas por las corrientes lodosas de lo material y debilitándose, en esta ignorancia y oscuridad mental, sus escudos de protección contra todo tipo de plagas. Pues en lo inteligible, todos formamos una familia de almas, entre nosotros y con las verdades eternas mismas, en lo sensible todos nos hacemos competidores y enemigos los unos de los otros; por tanto, de ahí la discordia, y de esta, la falta de salud de las almas y luego de los cuerpos, cuya salud quebrada no permite enfrentar las enfermedades que pululan por doquier. Quizás el sentido del oráculo es que fueran a donde ya había un altar doble (el cofre de resurrección en el seno de la Cámara del Rey de la Gran Pirámide) y buscasen algún sacerdote-mago (como lo eran los sabios presocráticos llegados de Egipto) que les diera la solución o fuera con ellos. En la leyenda se insiste en que la primera tentativa fue simplemente doblar la medida de las aristas del cubo-altar, pero en este caso, el volumen resultante sería ocho veces mayor (2 x 2 x 2).
Platón, en la República, menciona claramente que, para unir armónicamente dos volúmenes, no es suficiente una sola media proporcional, como en el caso de las magnitudes lineales, sino dos. Y dice que el demiurgo o Logos, para unir el Fuego y la Tierra necesitó dos medias proporcionales, que serían el Aire y el Agua. Nos figuramos que esta unión Fuego-Tierra estaría asociada a la entrada del mundo de las Ideas en la materia, o sea, a la duplicación-espejo de la Idea, y cómo efectuarla en el mundo de las formas-volumen a través de otros dos elementos mediadores. Como si para pasar del 1 al 2 tuvieras que pasar por dos volúmenes que hicieran de medias armónicas y así, ya necesariamente, aparece el 4. La duplicación del cubo.
Hipócrates de Quíos (470-410 a. C.) ya había revelado que el problema de duplicación del cubo era equivalente a hallar dos medias proporcionales entre una cantidad y su doble. En efecto, si para un segmento de línea dado de longitud a es necesario encontrar x, tal que x3 = 2a3, se pueden buscar segmentos de línea de longitudes x e y respectivamente tales que a/x = x/y = y/2a; pues entonces a3/x3 = (a/x)3 = (a/x)(x/y)(y/2a) = a/2a = 1/2.
Es fácil también verlo despejando el valor de la y en la primera ecuación y sustituirlo en la segunda.
De todos modos, la solución asombrosa la dio Arquitas, amigo de Platón. Pero no en el plano euclídeo, sino que saltó a las tres dimensiones. Encuentra la solución en la intersección de dos superficies: un toro (como un donut) con espacio central puntual, y un cilindro, que generan una curva especial; donde esta se corta con un cono, da la medida de y, por tanto, de duplicación del cubo. Según podemos ver con detalle y demostraciones de geometría analítica en la siguiente página, excelente sobre el tema, y de donde extraemos esta imagen, con el cilindro en rojo, el toro en azul y el cono en verde.
https://www.cs.mcgill.ca/~cs507/projects/1998/zafiroff/DC.html#Archytas
En este mismo sitio encontramos otras soluciones (que se salen del uso de regla no graduada y compás en el plano euclídeo) de Eudoxo, Platón mismo, Eratóstenes, Menaecno (que usa las secciones cónicas) y Nicomedes (que usa una figura especial llamada concoide).
Muy profundos deben de ser los significados ocultos detrás de este hecho (la duplicación del cubo) y su demostración a base de cilindros, conos y superficies toroidales (a las que tanta importancia dio Tales de Mileto, pues dijo que la base o forma de la Tierra era como el toro o bocel de las columnas, que es realmente la forma del campo magnético de nuestro planeta). Quizás demarcan, geométricamente, las rutas evolutivas de cuanto existe y se manifiesta desde el mundo ideal al de las formas y la materia y el retorno a su verdad interna.
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