Naturaleza — 1 de mayo de 2025 at 00:00

Analogía en la naturaleza y en las artes

«La vibración es el movimiento prisionero de la forma» (Juan Llongueras).

Existe un principio en la naturaleza que se relaciona con el viejo axioma hermético «así es arriba como es abajo»: es el principio de analogía. Las mismas leyes que se expresan en lo grande aparecen también en lo pequeño, y nos permiten atisbar, si descubrimos el hilo conductor, aquello que soprepasa la capacidad de nuestra mente.

El principio de analogía se refleja en las diferentes esferas de la actividad humana. Una de ellas es el arte, en la medida en que es verdadero arte. Si descubrimos cuál es la explicación de la estética natural, comprenderemos por qué las obras de arte impactan a veces en nuestra conciencia sin necesidad de que las estudiemos o razonemos sobre ellas, como si nos pillaran desprevenidos, despertando por un momento algo que teníamos dormido.

Todo vibra en el universo, nada está quieto, todo sigue su impulso vital en la dirección que le marca su destino, su razón de ser. En este proceso, la idea se concreta en la materia y la multiplicidad aparente de las formas a menudo nos engaña haciéndonos olvidar que su raíz es única. En el arte, hay un arquetipo, la belleza, pero se manifiesta de múltiples formas. Luz, color, sonido y forma nos pueden acercar a las primeras respuestas.

Las artes

El concepto de arte, como tantos otros, se nos muestra confuso en el mundo actual. El arte no tiene que ser una vía de escape para expresar impulsos desordenados o para desahogar cualquier emoción. Solo es verdadero arte la expresión estética que se relaciona con el mundo ideal, el de arriba, y que es capaz de trasladar al receptor de la obra de un modo espontáneo y directo algo de esa belleza arquetípica. Quien realiza el prodigio de conectar los dos mundos, el ideal y el material, es el artista.

«El artista es una suerte de mago que percibe las cosas invisibles, que oye lo insonoro, que ve lo que no se puede percibir y luego lo lleva al lienzo, al instrumento, al mármol o a la madera» (Jorge Ángel Livraga).

«El artista debe ser un intérprete de la naturaleza, un hábil mediador entre las Ideas Perfectas y los hombres. Esa es su misión: despertar el alma de sus observadores, y no solo la admiración» (Delia Steinberg Guzmán).

«El arte no se contrae a explicar la cosa tal como es, sino que también es una re-creación de la cosa tal como debe ser. Todo artista es modelador» (C. Jinarajadasa).

El artista es un puente que se extiende entre el mundo visible y el invisible para interpretar lo que habitualmente no vemos y reflejarlo en la materia en forma de pintura, escultura, música o arquitectura. El arte exige del artista unas facultades interiores de construcción y ordenación y una imaginación disciplinada ajena al desorden de la fantasía. Por eso el arte purifica, porque acrecienta la imaginación manteniéndola activa en busca de algo superior.

Tiempo y espacio, movimiento y reposo. Las artes participan en mayor o menor grado de estos elementos, aunque se expresen de modos diferentes.

El número de oro

«Todo está ordenado según el número» (Pitágoras).

«Todo cuanto la naturaleza ha ordenado de manera sistemática en el universo parece haber sido determinado y acordado con el número, tanto en sus partes como en el conjunto» (Nicómaco de Gerasa).

Cuando estudiamos la forma, la estructura y el crecimiento de los seres vivos, y cuando analizamos las artes plásticas o las obras arquitectónicas desde el punto de vista matemático, encontramos algunas proporciones llamativas que nos resultan atractivas. Esto nos lleva a preguntarnos si nos resultan agradables porque reflejan una ley que trasciende su forma.

Fue el renacentista Luca Pacioli, en su tratado De divina proportione, quien formuló explícitamente la razón áurea, a pesar de que ya se utilizaba desde la Antigüedad. Según explicó Pacioli, la manera más estética de dividir un segmento en otros dos es partirlo en dos trozos desiguales, de modo que la longitud del mayor dividida entre la longitud del menor sea igual a la longitud total dividida entre la longitud del trozo mayor. Esa proporción es el número que se conoce como razón áurea (F) y su valor es F= 1,618034…

En estética, la partición simétrica en partes iguales a veces es necesaria con relación a uno de los ejes de la figura, pero es a menudo indeseable respecto de otro. Por ejemplo, un eje o plano de simetría horizontal en un monumento es, en general, nefasto estéticamente, como también lo sería en una figura humana.

La sección áurea produce una impresión de armonía lineal, de equilibrio en la desigualdad. Piero della Francesca, Alberti, Leonardo da Vinci, Rafael, Miguel Ángel, Vignola y tantos otros renacentistas creían que esta ley del número resuena en la naturaleza y en el arte, y que, por este motivo, el artista debía tener conocimientos de geometría si pretendía materializar formas armónicas.

Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) dio a conocer en el siglo XIII la serie que lleva su nombre, en la cual cada término es la suma de los dos que lo anteceden: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Es una sucesión que encontramos frecuentemente en la naturaleza y en las artes y una de sus características más interesantes es que si dividimos cada término por el inmediatamente anterior, los valores de estas relaciones van acercándose al valor ideal F = 1,618…

Principio de la mínima acción

Este principio fue formulado por primera ver por Leonardo da Vinci en sus Cuadernos: «¡Oh, necesidad inexorable! Tú fuerzas todos los efectos para convertirlos en resultados directos de su causa y, a través de una ley suprema e irrevocable, toda acción natural te obedece siguiendo el proceso más corto».

Cuando un sistema cerrado sobre el cual no actúa ninguna fuerza externa pasa de uno a otro estado, este cambio se produce con la mayor economía posible de trabajo resistente. Esta es la forma de actuar de la naturaleza, siempre económica e inteligente.

La sección áurea no solo gobierna la mayor parte de los diseños de la arquitectura griega y gótica, sino también la morfología biológica. Es el aspecto lógico del principio de la mínima acción, que se hace evidente en cristalografía, por ejemplo. Los átomos se organizan en estructuras cristalinas formando patrones geométricos que se repiten en tres dimensiones. Si hay simetría cúbica, las estructuras se conforman con átomos colocados en los vértices o caras de un cubo. Si la simetría es hexagonal, el elemento ordenador es un prisma hexagonal con átomos en las bases y el centro.

La celda de una colmena de abejas no solo es la estructura más fuerte posible para una masa de celdillas adyacentes, sino también la más económica, la que requiere la cantidad mínima de trabajo y de cera.

«Hay orden en algún sitio» (Eddington).

«En el universo de los fenómenos percibidos por nuestros sentidos, lo que cuenta no es la sustancia sino la estructura» (Nicómaco de Gerasa).

Para la Grecia antigua un número es un ritmo; un número es una ley. Las formas se manifiestan siguiendo esta ley.

Para los pitagóricos, los números figurados eran a un tiempo ideas y formas, con propiedades intrínsecas, las cuales son visibles de manera concreta como formas y como leyes de crecimiento.

El examen matemático de la construcción de los seres vivos y de su forma permite descubrir cierta repetición inmutable, una parte que está un determinado número de veces comprendida en la totalidad del cuerpo. Y esto nos conduce al ritmo.

El ritmo

«El ritmo es periodicidad percibida. Actúa en la medida en que tal periodicidad deforma en nosotros la marcha habitual del tiempo» (Pius Servien).

«El ritmo es el orden y la proporción en el espacio y en el tiempo» (Vincent D’Indy).

Matemáticamente toda curva, cualquiera que sea su naturaleza, puede ser reconstituida superponiendo un número suficiente de curvas armónicas periódicas simples. Si la curva inicial no manifiesta divisiones periódicas, es considerada en toda su longitud como un semiperiodo de una curva periódica.

Este hecho encuentra su analogía en los ritmos visuales: un elemento de curva irregular cualquiera posee su ritmo potencial, que el ojo extrapola espontáneamente convirtiéndolo en elemento de un ritmo periódico gracias a una proporción. Este elemento de proporción es el que determina el ritmo explícito u oculto. Igualmente el oído descompone todo movimiento periódico complejo en una serie de vibraciones sinusoidales.

Según Quintiliano, los sonidos que tienen un movimiento igual desembocan en un entrelazado melódico inexpresivo y confunden la mente; son las partes del ritmo las que establecen con claridad la potencia de la melodía, moviendo la mente de lado a lado, pero con regularidad.

Proporción y belleza

El segmento rectilíneo determinado por dos puntos es, en geometría, en mecánica y en arquitectura, el elemento más sencillo al que se pueden aplicar las ideas de medida, comparación y relación. La operación más fácil con respecto a estos conceptos es elegir un tercer punto cualquiera para llegar al concepto de «proporción».

Vitruvio dice: «La simetría (symmetria) consiste en el acuerdo de la medida entre los diferentes elementos de la obra y entre estos elementos separados y el conjunto.(…); deriva de la proporción y consonancia entre cada parte y el todo. Esta simetría se encuentra regulada por el módulo, el patrón de medida común [para la obra considerada] (…). Cuando cada parte importante del edificio se encuentra además convenientemente porporcionada por el acuerdo entre la altura y la anchura, entre la anchura y la profundidad, y cuando todas estas partes tienen también su sitio en la simetría total del edificio, obtenemos la euritmia». La armonía sería una consecuencia de la euritmia.

Los antiguos entendían por symmetria algo diferente de nuestra simetría moderna. No se trataba de la repetición de elementos idénticos a uno y otro lado de un eje o plano de simetría, sino de una modulación regulada por una proporción entre el conjunto y el todo.

Zeysing (s. XIX) añade que la sección áurea introduce una facultad de repetirse, de reflejarse indefinidamente. Fue el primero en observar la sección áurea como módulo en la fachada del Partenón, y también señaló que se cumple la ley de las proporciones en el cuerpo humano, en los animales, en botánica y en música.

La palabra griega para indicar la proporción es analogia (analogía).

Principio de analogía

«La analogía es el único lenguaje comprendido por el subconsciente» (Jung).

«La imaginación es la más científica de las facultades, puesto que es la única que comprende la analogía universal» (Charles Baudelaire).

El principio de analogía se puede formular así: «Conocerás, hasta allí donde le sea posible a un mortal, que la naturaleza es en todo parecida a sí misma» (Pitágoras). Este principio se refleja en arquitectura, en literatura y en música.

La proporción es una equivalencia, es decir, una relación de analogía entre dos comparaciones: a/b = c/d. Esto se lee: a es a b como c es a d, donde a, b, c y d son unos valores cualesquiera: magnitudes, cualidades, etc.

La noción de «comparación» es previa a la noción de «proporción». Esto implica la percepción de una jerarquía de valores entre dos objetos de conocimiento y la comparación de ellos. Cuando esta comparación se realiza en términos cuantitativos tiene la forma y las propiedades de una fracción. Es equivalente, por ejemplo, al cociente de a por b, es decir, a un «número».

Los pitagóricos ya habían establecido los tres tipos más importantes de proporciones, que podrían simbolizarse algebraicamente así:

Proporción aritmética: b – a = d – c

Proporción geométrica: a/b = c/d

Proporción armónica: 1/b – 1/a = 1/d – 1/c

La proporción armónica es una combinación de las otras dos; aparece en música, mientras que la proporción geométrica domina las artes visuales, especialmente la arquitectura.

Otro tipo de proporción es (c – a) / (c – b) = b/a. Bajo su inofensiva apariencia se esconde el principio de formación de la serie de Fibonacci. Equivale a c = a + b.

El principio de analogía en las artes fue establecido por Thiersch en el siglo XIX. Se aplica a la arquitectura, a la pintura y a la música: «Al observar las obras más conseguidas de todos los tiempos, hemos observado que en cada una de estas obras se repite una forma fundamental y que, por su composición y su disposición, las partes forman figuras parecidas. La armonía es resultado únicamente de la repetición de la figura principal de la obra en sus subdivisiones».

La sucesión de Fibonacci aparece en botánica, ya que se ha observado que las hojas contiguas de ciertos árboles, como el olmo o el tilo, aparecen en lados opuestos (filotaxia 1/2); en otros, como el haya o el avellano, aparecen con una rotación de un tercio de giro (filotaxia 1/3); en el roble, con 2/5 de giro. En estos casos, las fracciones son siempre cocientes de números de Fibonacci.

Otra propiedad de la razón áurea es la siguiente: si un rectángulo ABCD tiene sus lados en la proporción f:1 y se quita el máximo cuadrado posible ABEF, entonces el rectángulo restante también tiene sus lados en proporción áurea.

El proceso se repite y, al colocar en EFDC el máximo cuadrado posible, EHGC, resulta que el rectángulo restante, HFDG, también tiene sus lados en proporción áurea. La combinación de estos rectángulos entre sí aparece en las esculturas y edificios griegos.

Si se trazan arcos circulares con centro en F, H, I, etc., la curva resultante es conocida como espiral de Durero o espiral áurea.

De hecho, todas las espirales logarítmicas están caracterizadas por progresiones geométricas y evocan una ley de crecimiento que les permite mantener la forma a pesar de crecer asimétricamente. Pero hay unas espirales logarítmicas en concreto que se consideran las curvas del crecimiento armonioso y son aquellas cuya pulsación es f o alguna de sus potencias.

En las piñas y los girasoles se aprecian formaciones de sus frutos en espirales a izquierda y derecha que totalizan números contenidos en la sucesión de Fibonacci; por ejemplo, en el caso de las piñas es frecuente encontrar ocho espirales hacia un lado y trece hacia el otro, y en algunos girasoles se han encontrado combinaciones como (21, 34), (55, 89) y (144, 233).

Los números de Fibonacci aparecen también en el crecimiento espiral de las conchas de ciertos caracoles y en el desarrollo de los cuernos de algunos animales. Estas mismas leyes matemáticas determinan las formas de los cristales y de los copos de nieve.

La simetría hexagonal parece dominar en los cristales, mientras que la simetría pentagonal lo hace en la morfología de los otros reinos de la naturaleza.

Analogía en el arte

Literatura: Edgar A. Poe en La carta perdida dice: «El mundo material está lleno de analogías rigurosas que corresponden al mundo inmaterial y parece verdad el dogma propuesto en retórica según el cual la metáfora o la comparación pueden ser empleadas correctamente para reforzar una argumentación o embellecer una descripción».

La metáfora es la trasposición de la analogía al campo de la literatura. A es a B como C es a D puede representar tanto una metáfora como una proporción geométrica, si bien la metáfora raras veces se detalla en cuatro términos explícitos, ya que una buena metáfora debe presentar, además, una condensación elíptica.

Para Aristóteles «una buena metáfora implica la percepción intuitiva de la semejanza entre cosas dispares».

«La analogía debe hacer perceptibles las resonancias misteriosas de las cosas y su armonía secreta, tan reales para los espíritus volcados hacia el arte como una relación matemática» (Paul Valéry).

Poesía: «Una muy útil capacidad resultante de la propia expresión en poesía es que aprendemos a economizar el pensamiento. La poesía condensa el pensamiento con estricta exactitud. Cuando acostumbramos a la mente a condensar el pensamiento, lo liberamos y así acertamos más pronto en el blanco de la vida» (Jinarajadasa).

Pius Servien comprobó que en todo texto elegido «la estructura sonora se traduce en cifras distribuidas no al azar sino siguiendo una ley simple (…). Cada vez que se habla de ritmos, uno percibe de manera más o menos precisa unos números».

Escultura: Jinarajadasa dice que cuando el arte llega a su grado más alto en cualquiera de sus ramas, es intensamente ético, es decir, tiene un directo mensaje para el hombre: «Cuando Fidias creó el Partenón, Grecia estaba llena de las estatuas de los dioses; pero para el artista representaban conceptos cósmicos. Palas Atenea, la diosa de la sabiduría, no era tan solo una hermosa doncella, sino un concepto intensamente ético de la militante sabiduría divina que potente y dulcemente ordena todas las cosas (…). Cuando un pueblo ama las grandes obras de arte, desea hacer de su vida cívica la expresión de un espiritual anhelo de armonía. Por eso los griegos no tenían en museos sino en la plaza pública sus estatuas y de tal modo las amaban que al pasar junto a cada estatua le tributaban un pensamiento de admiración que era una tenue vibración intensificada por cuantos allí pasaban, hasta que toda la atmósfera de la plaza quedaba henchida por un sentimiento de admiración. En nuestros días erigimos estatuas para conmemorar, no para inspirar».

Pintura: En matemáticas se llama cuadrado mágico al que está compuesto del mismo número de casillas iguales para cada lado, en las cuales se encuentran dispuestos los primeros números (uno por casilla), de modo que las sumas de los números de cada columna, de cada hilera y de las dos diagonales den siempre la misma cifra. El número de las hileras o de las columnas dentro de un cuadrado mágico se llama orden del cuadrado.

Entre los cuadrados mágicos asociados al arte de orden 4 de 16 casillas, el más famoso es el que figura en la Melancolía de Durero, donde el año de composición del grabado coincide con las dos casillas medias de la última hilera: 1514.

Claude Bragdon, arquitecto neoyorquino, se sirvió de las líneas ofrecidas por los cuadrados mágicos para composiciones ornamentales variadas. Estas líneas son las que se dirigen a los centros de las casillas. Sustituyendo las rectas por curvas, Bragdon obtuvo bellísimos motivos, semejantes a los lazos celtas.

Quintiliano dice que la pintura no hace nada sin números y proporciones, ya que mediante los números se obtienen las medidas adecuadas de los cuerpos y las mezclas de los colores, y a partir de ellos, se plasma la belleza.

Música: Platón subraya la función purificadora de la música. «Las musas nos la han dado como aliada de nuestra alma cuando se lanza a devolver al orden y al unísono sus movimientos periódicos, alterados en nosotros».

«La música es un ejemplo de aritmética secreta y el que se entrega a él ignora que está manejando números» (Leibniz).

«Según mi opinión, la música se nos da para crear el orden, para llevarnos del estado de anarquía individualista a un estado ordenado» (Strawinsky).

Dice Matila Ghyka que ciertas composiciones de Beethoven y de Mozart reproducen en el tiempo la proporción de la sección dorada.

El filósofo y musicólogo suizo Denéréaz comenta: «Si el acorde perfecto do-mi-sol nos parece espontáneamente armonioso, no es por causa de una relación simple entre los segmentos de cuerda que lo expresan, sino porque la tercera menor mi-sol es a la tercera mayor do-mi como esta es a la quinta do-sol» (definición de la proporción áurica). Demuestra igualmente, tomando las notas do, fa, sol, do como puntos de referencia fijos, que es posible deducir de ellas toda la gama temperada sirviéndose únicamente de la sección dorada.

Con un pensamiento filosófico basado en la proporción matemática, los pitagóricos concibieron la escala musical como un elemento estructural dentro del cosmos y era, a través de esta escala, por donde este se reflejaba con una absoluta armonía.

Arquitectura: Wittkower señala que «el axioma básico de los arquitectos renacentistas es la convicción de que la arquitectura es una ciencia, y que cada parte de un edificio, tanto por fuera como por dentro, debe hallarse integrado en un solo sistema de cocientes matemáticos».

Leon Battista Alberti señala una serie de proporciones según las cuales se han de realizar la longitud y la anchura de las habitaciones: 1:1, 3:2, 4:3 para las habitaciones cortas; 2:1, 9:4, 16:9, para las medianas y 3:1, 8:3, 4:1, para las más largas. No son otra cosa que los intervalos musicales base del sistema armónico pitagórico. Así, la proporción 1:1 sería el unísono, 4:3 el diatesarón o cuarta, 3:2 el diapente o quinta, 2:1 la octava, 8:3 la octava más la cuarta, etc. Es decir, las proporciones pitagóricas y sus sumas.

«En arquitectura hay ritmo en los claros y oscuros, en el tamaño de las portaladas, en la longitud y anchura de las cornisas» (Jinarajadasa).

El monumento egipcio más sutil como plasmación de la proporción es la Gran Pirámide. El triángulo del semiperfil meridiano es un triángulo rectángulo cuyos lados son proporcionales a 1, Öf y f, lo que le confiere la peculiaridad matemática de ser el único triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes que forman una progresión geométrica (de razón Öf). Puede ser considerada un símbolo matemático del crecimiento vivo.

Para hacer posible la aplicación de un sistema numérico coherente de relaciones a todo un edificio hay que idear un modo particular de medición que se adapte a cada edificio individual. Los arquitectos del Renacimiento aceptaron el diámetro de la columna como módulo o unidad estándar de medida, y dimensionaban tanto los detalles como los edificios enteros multiplicando y dividiendo ese módulo para obtener unidades métricamente relacionadas.

Relación entre música y arquitectura: Los teóricos renacentistas acuden a la música como guía, porque se cree en la absoluta analogía entre las proporciones auditivas y las visuales. Alberti escribía en De re aedificatoria: «Cada día estoy más convencido de que Pitágoras estaba en lo cierto al afirmar que la naturaleza actúa como una constante analogía en todas sus operaciones, por lo que concluyo que los números por medio de los cuales el acorde afecta a nuestros oídos con placer deben ser los mismos que agradan a nuestra vista y pensamiento».

«Oyendo, lo que conocemos se llama consonancia, y viéndolo, belleza» (Gerolamo Cardan).

«Las proporciones de las voces son armonías para el oído, las de las medidas lo son para la vista; dichas armonías suelen agradar sin que nadie sepa por qué, salvo aquellos que estudian la causalidad de las cosas» (Palladio).

Raúl Lino dice que la arquitectura es la música ejecutada en el espacio y que la música es la arquitectura erigida en el tiempo.

«Las relaciones encerradas en las formas naturales o creadas por el artista despiertan resonancias lógicas o afectivas en el que las contempla» (Matila Ghyka).

Podemos concluir, entonces, que «lo incomprensible del mundo es que es comprensible», como decía Einstein.

Como humanos nos corresponde conocer y extraer respuestas de la vida y para la vida, y el arte es un camino.