Los números de Hemachandra corresponden a lo que conocemos en Occidente como la sucesión de Fibonacci. Recientemente, algunos matemáticos y divulgadores orientales han propuesto el cambio de nombre, puesto que fueron descritos por Hemachandra cincuenta años antes que Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (1170-1240).
Leonardo acompañó a su padre en su estancia como cónsul de la república de Pisa en el norte de África (la actual Argelia). Fue allí donde aprendió el sistema de numeración árabe, o mejor dicho, indo-arábigo. Este fue un hecho crucial, pues en Europa aún se utilizaban los números romanos. Fibonacci era consciente de la superioridad de este sistema de numeración decimal, con notación posicional (unidades, decenas, centenas, etc.) y la incorporación de un dígito de valor nulo: el cero.
En 1202, a los treinta y dos años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber abaci, en español «El libro del cálculo». En dicho libro, además de divulgar este sistema de numeración, presentó la famosa secuencia de números (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…) mediante un problema práctico sobre el crecimiento de la población de conejos, haciéndola accesible a comerciantes y eruditos europeos.
En cuanto al origen indio, tendríamos que remontarnos a Pingala (alrededor del 200 a. C.). En Chandaḥśāstra, un texto sobre la prosodia sánscrita, Pingala describió un método para contar combinaciones de sílabas cortas y largas en la poesía sánscrita.
El objetivo era averiguar cuántas combinaciones métricas existen para un verso con una duración musical o métrica fija. Si deseas crear un verso que sume un total de unidades de tiempo (pulsos métricos), la cantidad de combinaciones musicales sigue exactamente la sucesión de la que estamos hablando:
Para 1 pulso: solo hay 1 opción (una sílaba corta).
Para 2 pulsos: hay 2 opciones (dos cortas, o una larga).
Para 3 pulsos: hay 3 opciones (corta-corta-corta, corta-larga, o larga-corta).
Para 4 pulsos: hay 5 opciones posibles (corta-corta-corta-corta, corta-corta-larga, corta-larga-corta, larga-corta-corta, o larga-larga).
Para 5 pulsos: hay 8 opciones posibles.
Y así sucesivamente.
Vemos, entonces, que el número de metros de longitud sigue el patrón 1, 2, 3, 5, 8, idéntico a la secuencia de Fibonacci.
Posteriormente, el erudito Virahanka (siglos VI-VII d. C.) formalizó la regla recursiva, estableciendo que el número de metros de longitud n es igual a la suma de los metros de longitud n-1 y n-2. Así quedo formulada la secuencia matemática.
Siglos más tarde, otros eruditos indios como Gopala (c. 1135) y Hemachandra (c. 1150) tomaron la regla de Virahandra y escribieron por primera vez la secuencia explícita de números enteros de forma totalmente clara: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Hemachandra fue el primero que documentó esta sucesión de números, que quizás llegó al norte de África y posteriormente a Europa con Fibonacci, que nunca se atribuyó su descubrimiento. Fue en el siglo XIX cuando el matemático francés Édouard Lucas, que se dedicó al estudio y generalización de estas sucesiones, la denominó sucesión o números de Fibonacci.
Propiedades de la sucesión de Fibonacci-Hemachandra
Las propiedades matemáticas de esta serie provienen de su tratamiento de las recurrencias, que son también la base del desarrollo de la naturaleza. La recurrencia surge de que cada nuevo número en la secuencia se origina a partir de los números anteriores. También se relaciona con la poesía y la música, que fue el trabajo de Hemachandra, estudiando los ritmos. El estudio de la armonía fue el que condujo a otro célebre matemático, Pitágoras, a indagar sobre la relación entre los números y el universo.
Esta sucesión tiene interesantes propiedades aritméticas, que quizás no sean tan admiradas por el público en general por su particularidad matemática. En primer lugar, la que descubrió Virahanka: cada elemento de la sucesión es la suma de los dos anteriores. Por eso mismo, la suma de n términos es igual al término n+2 restándole el número 1. También el cuadrado de cada término o la suma de los anteriores tiene curiosas identidades, que veremos posteriormente con una aparente paradoja geométrica. Además, dos números de Fibonacci consecutivos cualesquiera siempre son primos entre sí.
En cuanto a las propiedades geométricas, la más trascendente es que el cociente entre dos términos consecutivos es una sucesión que se aproxima al número áureo (phi, aproximadamente 1,6180339…). Con la sucesión se pueden construir rectángulos áureos, con los que dibujando un cuarto de círculo en el centro de los cuadrados se genera una espiral logarítmica perfecta.
Hay otras propiedades geométricas sorprendentes: por ejemplo, cualquier conjunto de cuatro números consecutivos de Fibonacci se puede utilizar para generar un triángulo rectángulo con lados enteros, estableciendo un vínculo con el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, con 2-3-5-8, tendríamos un cateto al multiplicar el primero por el último (2×8=16), otro cateto con el doble de los dos números del medio (2x3x5=30) y la hipotenusa sería la suma de los cuadrados de los dos del medio (32+52=34). Así, se cumple el teorema de Pitágoras: 162+302=342 (256+900=1156).
También la sucesión está relacionada con la construcción del pentágono (por su vínculo con el número áureo) y con el icosaedro y el dodecaedro. La secuencia de Fibonacci-Hemachandra aparece también en las diagonales del llamado triángulo de Pascal (o triángulo de Tartaglia), que se utiliza para los términos del binomio de Newton o para hallar las combinaciones posibles que existen al lanzar monedas o elegir elementos.
Otra vinculación sorprendente es la paradoja del cuadrado rompecabezas, que se genera al transformar aparentemente un cuadrado cuyo lado es un número de Fibonacci (por ejemplo, 8) en un rectángulo cuyos lados son los números anterior y posterior (5 y 13), de forma que parece que 8×8=5×13.
Pero lo más interesante es su presencia en la naturaleza y el arte. Las hojas en los tallos de las plantas, las escamas de las piñas de los pinos y las semillas de los girasoles se distribuyen siguiendo estrictamente espirales con números de esta sucesión para optimizar la captura de luz solar. Asimismo, el número de pétalos de las margaritas siempre es igual a uno de los números de esta famosa y sorprendente secuencia.
Y, por último, las proporciones áureas en el arte nos acercan al modelo de belleza armónica y en ellas podemos encontrar dimensiones y razones basadas en esta sucesión.
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